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计算机软件可能破解数百年的数学难题

2019-04-17 15:45:12来源:

在数学方面,没有研究人员真正孤立地工作。即使是那些独自工作的人也会使用他们的同事和前辈的定理和方法来发展新的想法。

但是,当一种已知的技术在实践中难以使用时,数学家可能忽略了重要的 - 以及其他可解决的 - 问题。

最近,我和几位数学家一起参与了一个项目,使这种技术更容易使用。我们制作了一个计算机软件包来解决一个叫做“S单元方程”的问题,希望所有条纹的数字理论家能够更容易地解决数学中各种未解决的问题。

丢番图方程

在他的文本“ Arithmetica ”中,数学家Diophantus研究了代数方程,其解必须是整数。碰巧,这些问题与数论和几何学有很大关系,数学家们从那以后一直在研究它们。

为什么只添加全数解决方案的限制?有时,原因是实际的; 养13.7只羊或购买-1.66只汽车是没有意义的。此外,数学家也被这些问题所吸引,现在称为丢番图方程。吸引力来自于他们惊人的困难,以及他们揭示数学本质的基本真理的能力。

事实上,数学家通常对任何特定的丢番图问题的具体解决方案不感兴趣。但是,当数学家开发新技术时,可以通过解决先前未解决的丢番图方程来证明它们的能力。

安德鲁威尔斯 关于费马最后定理的证明是一个着名的例子。皮埃尔·德·费马在1637年声称 - 在“算术”的副本范围内,并没有 - 解决了丢番图方程xⁿ+yⁿ=zⁿ,但没有提供任何理由。当Wiles在300多年后证明它时,数学家立即注意到了。如果威尔斯已经开发出一种可以解决费马的新想法,那么这个想法还能做些什么呢?数理论家参加了比赛,了解威尔斯的方法,概括了他们并发现了新的后果。

没有一种方法可以解决所有丢番图方程。相反,数学家培养各种技术,每种技术都适用于某些类型的丢番图问题而不适用于其他问题。因此,数学家通过其特征或复杂性对这些问题进行分类,就像生物学家可能通过分类法对物种进行分类一样。

更精细的分类

这种分类产生了专家,因为不同数量的理论家专注于与不同的丢番图问题家族相关的技术,例如椭圆曲线,二元形式或Thue-Mahler方程。

在每个家庭中,更精细的分类得到定制。数学家发展不变量 - 方程中出现的系数的某些组合 - 区分同一族中的不同方程。计算特定方程的这些不变量很容易。然而,与其他数学领域的更深层次的联系涉及更多雄心勃勃的问题,例如:“是否存在具有不变13的椭圆曲线?” 或“有多少二进制形式有不变的27?”

S单位方程可用于解决许多这些更大的问题。S指的是与特定问题相关的素数列表,如{2,3,7}。S单位是一个分数,其分子和分母是通过仅乘以列表中的数字而形成的。所以在这种情况下,3/7和14/9是S单位,但6/5不是。

S单位方程看起来很简单:查找所有S对单位的对数,增加到1.找到一些解决方案,如(3 / 7,4 / 7),可以用笔和纸来完成。但关键词是“全部”,这就是理论上和计算上使问题困难的原因。你怎么能确定找到每个解决方案?

原则上,数学家已经知道如何解决S单位方程多年。然而,这个过程是如此令人费解,以至于没有人能够手工解决这个等式,并且很少有案例得到解决。这令人沮丧,因为许多有趣的问题已经被简化为“只是”解决某些特定的S单位方程。

求解器如何工作

然而,情况正在发生变化。自2017年以来,包括我自己在内的六个北美数字理论家一直在为开源数学软件SageMath构建一个S单元方程求解器。3月3日,我们宣布完成该项目。为了说明其应用,我们使用该软件解决了几个开放的丢番图问题。

S单元方程的主要困难在于,虽然只存在少数解决方案,但是无限多的S单元可以成为解决方案的一部分。通过结合Alan Baker的着名定理和Benne de Weger 的精巧算法技术,求解器消除了大多数S单元。即使在这一点上,仍有数十亿个S单位或更多单位需要检查; 该程序现在尝试尽可能高效地进行最终搜索。

这种S单位方程的方法已经有20多年的历史,但是只能谨慎使用,因为所涉及的计算既复杂又耗时。以前,如果数学家遇到了她想要解决的S单位方程,那么就没有自动解决方法。她必须小心地完成Baker,de Weger和其他人的工作,然后编写自己的计算机程序来进行计算。运行程序可能需要数小时,数天甚至数周才能完成计算。

我们希望该软件能够帮助数学家解决数论中的重要问题,增强他们对数学的本质,美感和有效性的理解。